私たちは、ミレニアム賞チャレンジの 1 つであるナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題の解決策を共有します。 OpenAI の内部システムによって生成されたこの事実は、流体運動のナビエ・ストークス方程式の力学が有限時間内に特異点を発展させる可能性があることを示しています。 Lean では校正と形式化の両方を共有します。

私たちの活動の主な目的は、科学者が人類全体に利益をもたらす研究と技術を推進できるようにすることです。 Navier-Stokes 問題を解決するために、GPT-6 Astra よりも高性能な内部モデルを使用しました。私たちは、AI の進歩のペースと将来のモデルに何が期待できるかを世界に知らせることが重要であると考えています。

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートンの運動の第 2 法則 (「F=ma」) を使用して流体の運動を記述します。重要なのは、個々の分子を追跡するのではなく、流体を連続媒体として扱うことです。これらの方程式は、航空機の設計、天気予報、血流の研究に使用されます。

これらの力学方程式に対する重要な未解決の問題は、流体不変近似が崩れる可能性があるかどうかでした。特に、密度が一定の三次元非圧縮性流体のナビエ・ストークス方程式では、動きが滑らかに始​​まる場合でも「特異点」が発生する可能性がありますか?ここで、特異点とは、力学によって流体の成長速度が制限時間内に制限なく増加することを意味します。特異点の発生は、動きを滑らかにする棒の存在にもかかわらず発生するはずです。実際の流体は無限に動くことができないため、方程式が流体をどのようにモデル化するかが決まります。システムのモデリングを続けるには、各粒子の動作を個別に追跡する必要があります。

この方程式は、19 世紀のクロード ルイ ナビエとジョージ ガブリエル ストークスの研究に遡ります。 1934 年、ジャン・ルレーは、一般的な意味での解決策が存在することを証明しましたが、解決策が常に滑らかなままであるかどうかは、未解決の中心的な問題となりました。 2000 年、クレイ数学研究所は、ナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題をミレニアム賞の 7 つの問題の 1 つに指名しました。

私たちのシステムは、静止状態で最初は滑らかな流体が有限時間で特徴を発現できるという分析的証明と薄い形式化を提供します。流体には均一な力が加えられており、そのエネルギーは静止状態から特異点の形成までのダイナミクス全体にわたって制限されたままです。ステートメント「C」（および「D」）を次のように設定することで、ナビエ・ストークス ミレニアム賞問題を解決します。 ミレニアム賞の正式な展開。(新しいウィンドウで開きます)。

この渦の解決策は、内側に流れてスパゲッティのようにどんどん長くなる液体の渦巻き流です。この中心領域は非常に減速しているにもかかわらず、そのエネルギーは物理法則の要求に応じて制限されたままです。技術的な課題は、たとえば手動で無限の力を導入するのではなく、流体自体の運動を通じて方程式に摂動を生じさせることです。数学的には、運動を記述するナビエ・ストークス方程式の項 (加速度、圧力勾配、運動量伝達、粘性) は両方でなければなりません。 大きい まだ キャンセル 正確に。この緻密なバランスにより、流体速度が際限なく増加してもスムーズな外向きの力が生まれます。

8 月 28 日の時点で、私たちは新しい内部モデルをトレーニングしており、数学を含むベンチマークで前例のない向上を示しています。このモデルの研究は継続されており、そのパフォーマンスは向上しています。

9月1日火曜日、ミレニアム賞に関する2つの問題が解決されたという噂を聞きました。これらの噂と内部モデルのパフォーマンスの段階的な変化に触発されて、私たちはミレニアム賞のすべての未解決の課題と他のいくつかの印象的な課題でそれを評価しようとしました。

当社では、内部モデルに基づいて調整されたエージェントのシステムを使用しています。エージェントは、インターネットのキャッシュされたバージョンから読み取る機能やコードを実行する機能などのツールにアクセスできました。エージェントは、グループ内でコミュニケーションができるグループに分けられました。グループの規模はさまざまで、Navier-Stokes ソリューションを開発したグループには、約 10,000 人のエージェントが同時に参加していました。当社は常に、監視と分離を含むすべての境界モデル評価に適用するのと同じ厳格な保護措置を維持してきました。

問題ごとに、さまざまなエージェントのグループに問題ステートメントのさまざまなバリエーションを提示し、問題のすべてのバリエーションをカバーしました。ナビエ・ストークス問題については、バージョン「A」および「B」(証明につながるナビエ・ストークス問題の特定の形式)とバージョン「C」および「D」(反証明につながる)を別々のエージェントのグループに提示しました。

ミレニアム賞の完全なチャレンジに加えて、私たちはマルチプレイヤー システムに一連の「簡単な」チャレンジを試すように依頼しました。これらの問題の 1 つは、粘性項を削除したナビエ・ストークス問題の極限に関する同様の質問でした。これはオイラー方程式の日常的な問題として知られており、エージェントはこの問題を解決して私たちを驚かせました。彼らが解決した質問の具体的なバージョンは次のとおりです 無力な 流体に外力を加えないバージョン。オイラーのルーチンを打破するために、約100人のエージェントが約50時間協力した。¹

オイラーの解法を見たとき、私たちはナビエ・ストークスが取り組むべき最も有望な問題であると考えました。したがって、私たちはナビエ・ストークスにリソースを注ぐことにしました。これを行うために、他のミレニアム問題からエージェントを削除し、オイラーの決定によってこれらのエージェントを誘導しました。内部モデルのさらにトレーニングされたバージョンが取り組みを通じて利用可能になったとき、私たちはエージェントをそのモデルに更新しました。

私たちは、さまざまなエージェントのグループにさまざまなアプローチを検討するよう奨励しました。しばらくしてから、Codex を使用してエージェントのグループを相互受粉し、エージェントの各グループからの最も有用な洞察を組み合わせました。これらの追跡リクエストは、エージェント自体の中間結果に基づいています。 Navier-Stokes ソリューションを見つけたグループも同じように指導されました。

エージェントは、最初のエージェントが開始されてから約 88 時間後の 9 月 5 日土曜日に決定に達しました。 GPT-6 Astra によるカスタマイズと無駄のないテストにはさらに 17 時間かかりました。

試みられたすべてのチャレンジで、エージェントは 490 万のメッセージを送信し、約 3,000 億の出力トークンを使用しました。ナビエ・ストークス問題を解決する過程で、エージェントは 270 万のメッセージを送信し、約 1,300 億の出力トークンを使用しました。

私たちの取り組みは、人類研究者のレベント・アルピオゲ氏とニューヨーク大学の数学教授トリスタン・バックマスター氏が関係しているという噂を聞いた後、9月1日に始まりました。私たちの完全なプロジェクトとリーンテストの完了後（9月6日）、彼らもナビエ・ストークスソリューションを持っていると信じて、私たちの結果を同時に出版することを提案し、共同発表で彼らの優先権を認めるように彼らにアプローチしました。その時点で、私たちは彼らが強制オイラー問題の解決策を持っていることに気づきました。これらの議論では、私たちが使用したすべての指示を彼らに提供し、後で証拠を調べました。私たちはオイラー強制に関する彼らの研究の重要性を認識しており、彼らの顕著な数学的成果を祝福します。

私たち（研究者とエージェント）は、彼らが公開するまで、いかなる手段によっても彼らの研究を目にすることはありませんでした。これには、問題を解決するためのユーザーを特定するデータも含まれませんでした。可能性は低いですが、当社製品の使用から得られた情報が役に立った可能性は排除できません。 モデルを改善する。。ただし、私たちの証明は大きく異なり、オイラーの場合 (制約と強制) で証明された正確な結果さえ異なります。

この結果を公開する目的は、AI モデルの大幅な進歩を報告することです。私たちはこの結果に対してミレニアム賞を受賞するつもりはありません。

このフェーズは、数学者と AI 研究者の重要な作業です。ただし、これはピークではなく、AI 開発の進歩のスナップショットです。

私たちは今、AI 進化の次の時代に入っていると信じています。そして今日の結果がそれを改めて証明しました。私たちはこのモデルを理解し、学んだことを活用して能力のさらなる開発を導き、加速することに重点を置いています。私たちのうちの一人 主な目標。 は、制御可能で説明責任があり、人間と接続できる AI システムを構築しています。AGI の恩恵を全人類に提供するという使命を継続するにあたり、進歩のペースについてより多くの選択肢が必要になる可能性があります。